뉴턴 메소드는 f(x)=0 의 근삿값을 찾는 방법이다.
위 사진을 예로 들면 f(x) = x^2 이고. f'(x) = 2x 이다.
x = a 에서의 접선의 방정식은 y = 2a(x-a) + a^2 이다.
가장 처음에 임의의 점 하나를 잡는다. x = 2 에서의 점을 잡겠다.
그러면 접선의 방정식은 y = 4x - 4 가 된다. 여기서 x 절편을 구하면 x = 1 이 된다.
그럼 다시 x = 1 에서의 점을 잡고, 접선의 방정식을 구한다.
- y = 2x - 1.
x 절편 = 0.5
x 절편이 0.5 가 나왔다. 그럼 또다시 x = 0.5 일때 접선의 방정식을 구하고 이를 반복한다.
이렇게 f(x) = 0 의 근삿값을 구하는것이 newton method 이다.
이 과정을 정리하면
접선의 방정식은
y = f'(a)(x-a) + f(a) 이고. x 절편을 구하는 것이므로.
0 = f'(a)(x-a) + f(a).
-f(a) = f'(a)(x-a).
-f(a)/f'(a) = x - a
a - f(a)/f'(a) = x
즉, x = a - f(a) / f'(a) 가 된다.
이렇게 점진적으로 계산하다 보면 f(x) = 0 의 근삿값이 나온다.
문제를 하나 풀어보자면.
사칙연산만이 가능한 계산기를 이용하여 위의 근삿값을 구하여라.
풀이
x^4 = 3
x^4 - 3 = 0
이제 x^4 - 3 을 f(x) 로 둔다.
f(x) = x^4 - 3
f'(x) = 4x^3
그리고 뉴턴 메소드를 이용하여.
먼저 초기값을 2로 두고.
X1 = 2
X2 = 2 - 15/32 = 2 - 0.46875 = 1.53125
X3 = 1.53125 - 2.497742652893066 / 14.3614501953125= 1.53125 - 0.173919946727129 = 1.357330053272871
X4 = 1.357330053272871 - 0.3942346329770783 / 10.00268026127531 = 1.357330053272871 - 0.0394128996108504 = 1.317917153662021
X5 = 1.317917153662021 - 0.0168411463931242 / 9.156390864206905 = 1.317917153662021 - 0.0018392777943718 = 1.316077875867649
마지막으로
X6 = 1.316077875867649 - 3.522232451445048e-5 / 9.118108517238572 = 1.316077875867649 - 3.862898149090859e-6 = 1.3160740129695
실제 1.3160740129695 의 4제곱을 계산해보면 3.000000000155075 로 정말 근삿값이 나오는것을 확인할 수 있다.